数学B｜統計的な推測ドリル第45回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

全校生徒800人の睡眠時間を調べるため、30人を無作為に選びます。母集団、標本、標本サイズを答えなさい。

正規母集団から独立に100個を抽出し、標本平均51、既知の母標準偏差20でした。95%信頼区間を求めなさい。標準正規分布の臨界値1.96を使います。

母平均の帰無仮説μ=51を、既知の母標準偏差18、独立標本サイズ81、標本平均57で検定します。5%両側検定の棄却域は|Z|>1.96です。結論を述べなさい。

全市民70000人の交通利用を調べるため、自家用車の駐車場だけで200人に聞きました。全市民への推測にどのような問題がありますか。

公平なコインを3回投げ、表の回数Xを考えます。Xの確率分布の式と、X=1の確率を求めなさい。

解答・解説

推測したい全体が母集団、実際に調べる一部が標本です。標本サイズは標本に含まれる人数です。

\boxed{\text{母集団：全校生徒、標本：選ばれた生徒、サイズ}=30}

標準誤差は20/√100=2。標本平均±1.96×標準誤差を計算します。

\boxed{[\frac{1177}{25},\ \frac{1373}{25}]}

Z=(57−51)/(18/√81)=3。3>1.96なので棄却します。対立仮説はμ≠51です。

\boxed{Z=3,\quad\text{帰無仮説を棄却する}}

標本サイズが大きくても抽出方法に偏りがあると解消しません。母集団を代表するよう無作為抽出を設計する必要があります。

\boxed{\text{車利用者が選ばれやすい選択の偏り}}

表になる位置をk個選ぶ組合せに、各並びの確率(1/2)^aを掛けます。

\boxed{P(X=k)=\binom{3}{k}2^{-3}\ (k=0,\ldots,3),\quad P(X=1)=\frac{3}{8}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____