二重根号 | ドリル3（レベル3）
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注意事項
- 制限時間は25分です。
- 合計100点です。
- 基本問題は各4点、応用問題は各6点です。
- 二重根号を外し、できるだけ簡単な形で答えましょう。
第1問 基本問題（40点）
次の式を簡単にしなさい。各4点。
（1）
\[
\sqrt{9+6\sqrt{2}}
\]
（2）
\[
2\sqrt{9-2\sqrt{14}}
\]
（3）
\[
\sqrt{12+2\sqrt{35}}
\]
（4）
\[
2\sqrt{9-4\sqrt{2}}
\]
（5）
\[
\sqrt{13+2\sqrt{30}}
\]
（6）
\[
2\sqrt{13-2\sqrt{22}}
\]
（7）
\[
\sqrt{13+4\sqrt{3}}
\]
（8）
\[
2\sqrt{16-2\sqrt{39}}
\]
（9）
\[
\sqrt{16+4\sqrt{7}}
\]
（10）
\[
2\sqrt{16-2\sqrt{15}}
\]
第2問 応用問題（60点）
次の式を簡単にしなさい。各6点。
（1）
\[
3\sqrt{21-6\sqrt{10}}
\]
（2）
\[
3\sqrt{19+2\sqrt{34}}
\]
（3）
\[
3\sqrt{19-6\sqrt{2}}
\]
（4）
\[
3\sqrt{22+2\sqrt{57}}
\]
（5）
\[
3\sqrt{25-20}
\]
（6）
\[
3\sqrt{23+2\sqrt{42}}
\]
（7）
\[
3\sqrt{5-2\sqrt{6}}
\]
（8）
\[
3\sqrt{6+2\sqrt{5}}
\]
（9）
\[
3\sqrt{7-2\sqrt{10}}
\]
（10）
\[
3\sqrt{7+2\sqrt{6}}
\]
解答
第1問
（1）
\[
\sqrt{6}+\sqrt{3}
\]
（2）
\[
2(\sqrt{7}-\sqrt{2})
\]
（3）
\[
\sqrt{7}+\sqrt{5}
\]
（4）
\[
2(2\sqrt{2}-1)
\]
（5）
\[
\sqrt{10}+\sqrt{3}
\]
（6）
\[
2(\sqrt{11}-\sqrt{2})
\]
（7）
\[
2\sqrt{3}+1
\]
（8）
\[
2(\sqrt{13}-\sqrt{3})
\]
（9）
\[
\sqrt{14}+\sqrt{2}
\]
（10）
\[
2(\sqrt{15}-1)
\]
第2問
（1）
\[
3(\sqrt{15}-\sqrt{6})
\]
（2）
\[
3(\sqrt{17}+\sqrt{2})
\]
（3）
\[
3(3\sqrt{2}-1)
\]
（4）
\[
3(\sqrt{19}+\sqrt{3})
\]
（5）
\[
3(2\sqrt{5}-\sqrt{5})
\]
（6）
\[
3(\sqrt{21}+\sqrt{2})
\]
（7）
\[
3(\sqrt{3}-\sqrt{2})
\]
（8）
\[
3(\sqrt{5}+1)
\]
（9）
\[
3(\sqrt{5}-\sqrt{2})
\]
（10）
\[
3(\sqrt{6}+1)
\]
解説
二重根号は、次の対応を使って外します。
\[
(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2=m+n+2\sqrt{mn}
\]
\[
(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2=m+n-2\sqrt{mn}
\]
外側の整数が m+n、内側の根号の中が mn になるように2つの数を探します。マイナス型では、大きい平方根から小さい平方根を引く形にします。