数学A｜数学と人間の活動（整数の性質）ドリル第35回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

任意の整数nで\(n(n+1)+10\)が偶数であることを証明しなさい。

石が17個あります。1回の操作で3個取り除きます。最後に0個にできるか、3で割った余りを使って判断しなさい。

8と10の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。

49と21の最大公約数を、互除法で求めなさい。

\(7x+8y=29\)の整数解をすべて求めなさい。

解答・解説

連続する2整数の一方は偶数なので積は偶数。加える2aも偶数で、和も偶数です。

\boxed{\text{偶数}}

3個ずつ減らしても3で割った余りは変わりません。最初の余りは2で、これが0のときに限り0個まで減らせます。

\boxed{\text{できない}}

bとb+1は互いに素なので最大公約数はa。最小公倍数は2数の積÷最大公約数です。

\boxed{\gcd=2,\quad\operatorname{lcm}=40}

49=2×21+7、21=3×7+0。最後の0でない余りは7です。

\boxed{7}

隣り合う係数は互いに素です。特解を引くとa(x−x₀)=−(a+1)(y−y₀)になり、双方の倍数条件から一般解を得ます。

\boxed{x=3+8t,\quad y=1-7t\quad(t\in\mathbb Z)}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____