数学A｜数学と人間の活動（整数の性質） ドリル第21回（定着練習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜記数法：位取り
\((116)_9\)を10進法で表しなさい。
問題2｜合同式と余り
\((6x+1)\)でxを3で割った余りが1です。この式を3で割った余りを求めなさい。
問題3｜整数の性質の証明
任意の整数nで\(n(n+1)+12\)が偶数であることを証明しなさい。
問題4｜座標と位置の表現
格子上で原点から右へ6、上へ1進み、その後左へ1進みます。終点の座標と原点からの距離を求めなさい。
問題5｜ゲームと不変量
石が19個あります。1回の操作で3個取り除きます。最後に0個にできるか、3で割った余りを使って判断しなさい。
解答・解説
解答1｜記数法：位取り
9²+1×9+6と展開します。各桁は0〜8なので9進法の数字として有効です。
\[
\boxed{96}
\]
解答2｜合同式と余り
xは法c+2で1と合同。代入したa+bをもう一度割って余りを0以上の範囲に直します。
\[
\boxed{1}
\]
解答3｜整数の性質の証明
連続する2整数の一方は偶数なので積は偶数。加える2aも偶数で、和も偶数です。
\[
\boxed{\text{偶数}}
\]
解答4｜座標と位置の表現
横移動を符号付きで足し、縦座標と組にします。距離は三平方の定理です。
\[
\boxed{(5,1),\quad\sqrt{26}}
\]
解答5｜ゲームと不変量
3個ずつ減らしても3で割った余りは変わりません。最初の余りは1で、これが0のときに限り0個まで減らせます。
\[
\boxed{\text{できない}}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____