数学A｜数学と人間の活動（整数の性質）ドリル第11回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

8と12の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。

144を素因数分解し、正の約数の個数を求めなさい。

15と6の最大公約数を、互除法で求めなさい。

7を3で割った商と余りを求めなさい。余りは0以上3未満とします。

\(3x+4y=10\)の整数解をすべて求めなさい。

解答・解説

bとb+1は互いに素なので最大公約数はa。最小公倍数は2数の積÷最大公約数です。

\boxed{\gcd=4,\quad\operatorname{lcm}=24}

約数は2の指数を0〜4、3の指数を0〜2から選ぶので(a+1)(b+1)個です。

\boxed{2^{4}\cdot3^{2},\quad15\text{個}}

15=2×6+3、6=2×3+0。最後の0でない余りは3です。

\boxed{3}

N=aq+r、0≤r<aを満たすように、cがa以上の場合も商へ繰り入れます。

\boxed{q=2,\quad r=1}

隣り合う係数は互いに素です。特解を引くとa(x−x₀)=−(a+1)(y−y₀)になり、双方の倍数条件から一般解を得ます。

\boxed{x=2+4t,\quad y=1-3t\quad(t\in\mathbb Z)}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____