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横浜国立大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第094回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(8)=0\)、\(P(-8)=1024\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-16\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第2問　円と直線の交点数・弦の長さ（17点）

円 \\(x^2+y^2=64\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（5点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（7点）

第3問　三次関数の増減・接線・定積分（17点）

\(f(x)=x^3-24x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）\(x=8\) における接線を求めなさい。（5点）

（3）\(\int_0^{24} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）

第4問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）

複素数zが \(|z-8|=2|z+8|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）

第5問　抽出方法と条件付き確率（16点）

袋に赤玉 \(8\) 個、青玉 \(16\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（4点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（4点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）

第6問　回転軸を変える体積計算（16点）

\(0\le x\le8\) で曲線 \(y=x(8-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（4点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-128,\quad b=512} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-8)\(x^2+8x-64\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=8,4(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{2560} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-64=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-8\sqrt2\le a\le8\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm8\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{256-2a^2},\quad\max L=16\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-16)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=16で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-2048} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

傾きは \(-192\)、接点のy座標は \(-1024\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-192x+512} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-27648} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-8)^2+y^2=4((x+8)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{40}{3})^2+y^2=\frac{1024}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(40/3\)、半径は \(32/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=24\ (z=-24),\quad\min|z|=\frac{8}{3}\ (z=-\frac{8}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-8w|=2|1+8w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{24})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{1}{36}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((8-1)/(24-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{7}{69}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{16(16-1)}{24(24-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{7}{39}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(8-1)<40-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{7}{39}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{8}x(8-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{256}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切り口は半径 \(x(8-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{8}x^2(8-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{16384}{15}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(0\le y\le64/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(8\pm\sqrt{64-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=8\pi\sqrt{64-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{2048}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。