横浜国立大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第043回
この回のテストポイント
- 第1問：三次方程式の実数解の個数
- 第2問：線分上の点と内積・最大最小
- 第3問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第4問：1の累乗根と積・距離の和
- 第5問：委員選出と余事象の数え上げ
- 第6問：回転軸を変える体積計算
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三次方程式の実数解の個数（17点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-768x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）
第2問 線分上の点と内積・最大最小（17点）
\(O(0,0),B(32,0),C(0,16)\) とする。Pは線分BC上を動く。
（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（5点）
（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（5点）
（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（7点）
第3問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-48x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=16\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{48} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第4問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^16=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{15}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{15}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{15}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第5問 委員選出と余事象の数え上げ（16点）
男子16人、女子16人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（4点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（4点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（8点）
第6問 回転軸を変える体積計算（16点）
\(0\le x\le16\) で曲線 \(y=x(16-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（4点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-16)(x+16)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-16\) で極大、\(x=16\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a=8192\) では \(f(x)-a=(x-32)(x+16)^2\)。\(a=-8192\) では \(f(x)-a=(x+32)(x-16)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 線分上の点と内積・最大最小
（1）
\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-32,16)\) とOPの内積は0。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
長方形の面積は \(512t(1-t)=128-512(t-1/2)^2\)。端点では面積0、内部の頂点で最大。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-32)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=32で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-768\)、接点のy座標は \(-8192\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(16\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{15}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{15}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{16}x(16-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
切り口は半径 \(x(16-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(0\le y\le256/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(16\pm\sqrt{256-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。