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横浜国立大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第034回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(13)=0\)、\(P(-13)=4394\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-26\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第2問　内分点・内積・三角形の面積（17点）

A(0,0)、B(26,0)、C(0,26)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（5点）

（3）三角形APQの面積を求めなさい。（7点）

第3問　固定点を引く漸化式と重み付きの和（17点）

\(a_1=13,\ a_{n+1}=2a_n+13\) で定まる数列を考える。

（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（7点）

第4問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=169\\) 上の点 \(P(t,169/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第5問　委員選出と余事象の数え上げ（16点）

男子13人、女子13人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（4点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（4点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（8点）

第6問　三角関数の積分漸化式（16点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（4点）

（2）\(I_{26}\) を求めなさい。（4点）

（3）\(I_{27}\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-338,\quad b=2197} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-13)\(x^2+13x-169\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=13,\frac{13}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{10985} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　内分点・内積・三角形の面積

（1）

中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。

\[ \boxed{P=(13,0),\quad Q=(\frac{52}{3},\frac{26}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。

\[ \boxed{\frac{676}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。

\[ \boxed{\frac{169}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　固定点を引く漸化式と重み付きの和

（1）

\(a_{n+1}+13=2(a_n+13)\) なので \(a_n+13=26\cdot2^{n-1}\)。

\[ \boxed{a_n=13(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。

\[ \boxed{S_n=13(2^{n+1}-n-2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(a_j/2^j=13(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。

\[ \boxed{13(n-1+2^{-n})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=169/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-169/t=-169(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{169}=2,\quad(2t,0),(0,338/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(338/t\)。その積が \(676\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{338} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+338/t\ge52\)。等号は \(t=13\) のとき。

\[ \boxed{\min=52,\quad P=(13,13)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{2600} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{1014} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{2028} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(13\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{1300075}{16777216}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(13\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{8388608}{35102025}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。