横浜国立大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第013回
この回のテストポイント
- 第1問：三次方程式の実数解の個数
- 第2問：放物線の接線と囲まれた面積
- 第3問：三項間漸化式と互いに素の証明
- 第4問：楕円の接線と切片・回転体
- 第5問：抽出方法と条件付き確率
- 第6問：指数関数の最大値と積分の極限
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧
問題
第1問 三次方程式の実数解の個数（17点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-108x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）
第2問 放物線の接線と囲まれた面積（17点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-36)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（5点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（7点）
第3問 三項間漸化式と互いに素の証明（17点）
とする。
（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）
第4問 楕円の接線と切片・回転体（17点）
楕円
の第1象限の点 \(P(12\cos t,6\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）
第5問 抽出方法と条件付き確率（16点）
袋に赤玉 \(6\) 個、青玉 \(12\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（4点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（4点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）
第6問 指数関数の最大値と積分の極限（16点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-6x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（4点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（4点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-6)(x+6)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-6\) で極大、\(x=6\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a=432\) では \(f(x)-a=(x-12)(x+6)^2\)。\(a=-432\) では \(f(x)-a=(x+12)(x-6)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=36\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
接点は \((\pm6,36)\)。底辺の長さは \(12\)、Pから底辺までの高さは \(72\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-6)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{6}(x-6)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三項間漸化式と互いに素の証明
（1）
。初めの差は \(6\) なので \(a_{n+1}-a_n=6^n\)。初項に差の和を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
一般項を代入して \(1/(6-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一般項から \(a_{n+1}=6a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-6a_n=1\) を割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(12/\cos t\)、\(6/\sin t\)。面積は \(36/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(36\(1-x^2/144\)\)。\(-12\le x\le12\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((6-1)/(18-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{12(12-1)}{18(18-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(6-1)<30-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-6x}(1-6x)\)。指数因子は正なので \(x=1/6\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{6x+1}{36}e^{-6x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(e^{-6a}\) と \(ae^{-6a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。