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横浜国立大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第069回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　円と直線の交点数・弦の長さ（25点）

円 \\(x^2+y^2=961\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（7点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（11点）

第2問　停止する試行と期待値の連立（25点）

表の確率が \(1/31\)、裏の確率が \(30/31\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（7点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（7点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（11点）

第3問　絶対値の和と場合分け（25点）

\(f(x)=|x-31|+|x+31|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（7点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（7点）

（3）不等式 \(f(x)\le 93\) を解きなさい。（11点）

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=32,\ a_{n+2}=32a_{n+1}-31a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-961=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-31\sqrt2\le a\le31\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm31\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{3844-2a^2},\quad\max L=62\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{961},\quad P(T=3)=\frac{30}{29791}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(p=1/31,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{992} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

1回の表までの平均は \(31\) 回なので合計2回の表までの平均は \(62\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=62,\quad\text{差}=930} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-31,31\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-31\\62&-31\le x\le31\\2x&x>31\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=62,\quad -31\le x\le31} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 93\)、\(2x\le 93\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{93}{2}\le x\le \frac{93}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=31(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(31\) なので \(a_{n+1}-a_n=31^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{31^n-1}{30}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(31-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{31(31^n-1)-30n}{900}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=31a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-31a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。