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横浜国立大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第017回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　余弦定理・面積・正弦定理（25点）

三角形ABCでAB=14、AC=28、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（7点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（7点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（11点）

第2問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(14\) 個、青玉 \(28\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

第3問　二次関数の頂点・解・不等式（25点）

実数全体で \(f(x)=x^2-28x+182\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=15,\ a_{n+2}=15a_{n+1}-14a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で \(BC^2=196+784-784\cos60^\circ\)。

\[ \boxed{14\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{98\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{14} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((14-1)/(42-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{13}{123}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{28(28-1)}{42(42-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{13}{69}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(14-1)<70-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{13}{69}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-14)^2-14\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-14,\quad x=14} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\((x-14)^2=14\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=14\pm\sqrt{14}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{14-\sqrt{14}\le x\le 14+\sqrt{14}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=14(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(14\) なので \(a_{n+1}-a_n=14^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{14^n-1}{13}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(14-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{14(14^n-1)-13n}{169}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=14a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-14a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。