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横浜市立大学 理学部・医学部医学科 数学記述模試 第044回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　非復元抽出の組合せと期待値（17点）

袋に赤玉14個、青玉7個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）

第2問　指数関数の最大値と積分の極限（17点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-7x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）

複素数zが \(|z-7|=2|z+7|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）

第4問　等差数列の一般項・和・境界（17点）

初項7、公差2の等差数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）\(a_n\ge 21\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第5問　データの変換と分散（16点）

5個のデータは \(5,6,7,8,9\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。

（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（4点）

（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（4点）

（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（8点）

第6問　円と直線の交点数・弦の長さ（16点）

円 \\(x^2+y^2=49\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（4点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（4点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{91}{190}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-7x}(1-7x)\)。指数因子は正なので \(x=1/7\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{7},\quad\max f=\frac1{7e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{7x+1}{49}e^{-7x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(7a+1)e^{-7a}}{49}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(e^{-7a}\) と \(ae^{-7a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{49}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-7)^2+y^2=4((x+7)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{35}{3})^2+y^2=\frac{784}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(35/3\)、半径は \(28/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=21\ (z=-21),\quad\min|z|=\frac{7}{3}\ (z=-\frac{7}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-7w|=2|1+7w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{21})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{16}{441}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　等差数列の一般項・和・境界

（1）

初項に公差のn−1倍を加える。

\[ \boxed{a_n=7+2(n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初項と末項の平均に項数を掛ける。

\[ \boxed{S_n=n(n+6)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。

\[ \boxed{8} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　データの変換と分散

（1）

平均は中央の \(7\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。

\[ \boxed{\bar x=7,\quad V_x=2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。

\[ \boxed{\bar y=17,\quad V_y=8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。

\[ \boxed{r=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-49=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-7\sqrt2\le a\le7\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm7\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{196-2a^2},\quad\max L=14\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。