早稲田大学 基幹・創造・先進理工学部 数学記述模試 第100回
この回のテストポイント
- 第1問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第2問：抽出方法と条件付き確率
- 第3問：放物線の接線と囲まれた面積
- 第4問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第5問：区分求積と和の極限
- 第6問：楕円の接線と切片・回転体
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三角関数を二次関数に置き換える（17点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=22\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）
第2問 抽出方法と条件付き確率（17点）
袋に赤玉 \(22\) 個、青玉 \(44\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）
第3問 放物線の接線と囲まれた面積（17点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-484)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（5点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（7点）
第4問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（17点）
\(a_1=22,\ a_{n+1}=2a_n+22\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（7点）
第5問 区分求積と和の極限（16点）
正の整数nについて、
、
とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）
第6問 楕円の接線と切片・回転体（16点）
楕円
の第1象限の点 \(P(44\cos t,22\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=22\)、\(f(1)=-21\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(t-44t^2=0\) の解は0と \(1/44\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((22-1)/(66-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{44(44-1)}{66(66-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(22-1)<110-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=484\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
接点は \((\pm22,484)\)。底辺の長さは \(44\)、Pから底辺までの高さは \(968\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-22)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{22}(x-22)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+22=2(a_n+22)\) なので \(a_n+22=44\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a_j/2^j=22(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{22+x}\)、
は \(g(x)=1/(22+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
切片は \(44/\cos t\)、\(22/\sin t\)。面積は \(484/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(484\(1-x^2/1936\)\)。\(-44\le x\le44\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。