早稲田大学 基幹・創造・先進理工学部 数学記述模試 第071回
この回のテストポイント
- 第1問：三次方程式の実数解の個数
- 第2問：反復試行と条件付き確率
- 第3問：線分上の点と内積・最大最小
- 第4問：逆数で線形化し差を足す
- 第5問：対数の評価と部分積分
- 第6問：複素数の回転と正三角形
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三次方程式の実数解の個数（17点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-1200x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）
第2問 反復試行と条件付き確率（17点）
公平な硬貨を20回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）
第3問 線分上の点と内積・最大最小（17点）
\(O(0,0),B(40,0),C(0,20)\) とする。Pは線分BC上を動く。
（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（5点）
（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（5点）
（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（7点）
第4問 逆数で線形化し差を足す（17点）
で数列を定める。
（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（7点）
第5問 対数の評価と部分積分（16点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le20\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（4点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（4点）
（3）
を求めなさい。（8点）
第6問 複素数の回転と正三角形（16点）
複素数平面で \(A=20,B=20i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。
（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（4点）
（2）正三角形の面積を求めなさい。（4点）
（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-20)(x+20)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-20\) で極大、\(x=20\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a=16000\) では \(f(x)-a=(x-40)(x+20)^2\)。\(a=-16000\) では \(f(x)-a=(x+40)(x-20)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(20\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 線分上の点と内積・最大最小
（1）
\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-40,20)\) とOPの内積は0。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
長方形の面積は \(800t(1-t)=200-800(t-1/2)^2\)。端点では面積0、内部の頂点で最大。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 逆数で線形化し差を足す
（1）
初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
漸化式から
。和をとると中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<20\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 複素数の回転と正三角形
（1）
。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(|B-A|=20\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。