早稲田大学 基幹・創造・先進理工学部 数学記述模試 第025回
この回のテストポイント
- 第1問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第2問：停止する試行と期待値の連立
- 第3問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第4問：重解を使う三次曲線の面積
- 第5問：回転軸を変える体積計算
- 第6問：複素数の距離条件と逆数の軌跡
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三角関数を二次関数に置き換える（17点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=25\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）
第2問 停止する試行と期待値の連立（17点）
表の確率が \(1/25\)、裏の確率が \(24/25\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。
（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（5点）
（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（5点）
（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（7点）
第3問 円の弦と三角形の面積の最大化（17点）
円 \\(x^2+y^2=625\\) の内部の点 \(Q(\frac{25}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）
第4問 重解を使う三次曲線の面積（17点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-1875x\) の \(x=25\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（5点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（5点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（7点）
第5問 回転軸を変える体積計算（16点）
\(0\le x\le25\) で曲線 \(y=x(25-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（4点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）
第6問 複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）
複素数zが \(|z-25|=2|z+25|\) を満たす。
（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）
（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）
（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）
解答・解説
第1問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=25\)、\(f(1)=-24\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(t-50t^2=0\) の解は0と \(1/50\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 停止する試行と期待値の連立
（1）
2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(p=1/25,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
1回の表までの平均は \(25\) 回なので合計2回の表までの平均は \(50\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=\frac{25}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{1875}{4}\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
直線は \(mx-y-\frac{25}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{625m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{625-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le25/2\)。面積の2乗は \(d^2(625-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(625-s)\) は \(0\le s\le625/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(25)=0\) なので \(l:y=-31250\)。差は \((x-25)^2(x+50)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
区間 \([-50,25]\) では差は非負。
。原始関数は
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{25}x(25-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
切り口は半径 \(x(25-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(0\le y\le625/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(25\pm\sqrt{625-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 複素数の距離条件と逆数の軌跡
（1）
\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-25)^2+y^2=4((x+25)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
原点から中心までの距離は \(125/3\)、半径は \(100/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-25w|=2|1+25w|\) に直し、同様に平方完成する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。