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早稲田大学 基幹・創造・先進理工学部 数学記述模試 第006回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三次方程式の実数解の個数（17点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-675x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）

第2問　抽出方法と条件付き確率（17点）

袋に赤玉 \(15\) 個、青玉 \(30\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）

第3問　円の弦と三角形の面積の最大化（17点）

円 \\(x^2+y^2=225\\) の内部の点 \(Q(\frac{15}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）

第4問　絶対値を含む面積の最適化（17点）

\(0\le a\le15\) とする。\(0\le x\le15\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）

第5問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{15+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{15n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

第6問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）

複素数zが \(|z-15|=2|z+15|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-15)(x+15)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-15\) で極大、\(x=15\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }6750,\quad\text{極小値 }-6750} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-6750<a<6750} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(a=6750\) では \(f(x)-a=(x-30)(x+15)^2\)。\(a=-6750\) では \(f(x)-a=(x+30)(x-15)^2\)。

\[ \boxed{a=6750:x=-15,30;\quad a=-6750:x=-30,15} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((15-1)/(45-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{7}{66}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{30(30-1)}{45(45-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{7}{37}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(15-1)<75-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{7}{37}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=\frac{15}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{675}{4}\\)。

\[ \boxed{(\frac{15}{2},\pm \frac{15}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

直線は \(mx-y-\frac{15}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{225m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{225-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=15\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le15/2\)。面積の2乗は \(d^2(225-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(225-s)\) は \(0\le s\le225/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=\frac{225}{4}\sqrt{3},\quad x=\frac{15}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le15\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{15}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{225}{2}a+1125} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{225}{2}\)。定義域内で \(a=15/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{15}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{1125}{2}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{15+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{15+j/n} \]

は \(g(x)=1/(15+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{15+x}\,dx=[\frac23(15+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(64-15\sqrt{15})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{15+x}\,dx=[\log(15+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{16}{15}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-15)^2+y^2=4((x+15)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+25)^2+y^2=400} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

原点から中心までの距離は \(75/3\)、半径は \(60/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=45\ (z=-45),\quad\min|z|=5\ (z=-5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-15w|=2|1+15w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{1}{9})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{16}{2025}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。