J 受験ヒーロー

早稲田大学 商学部・数学型 数学記述模試 第088回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(19\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

第2問　逆数で線形化し差を足す（25点）

\[ a_1=1/19,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（7点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（7点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（11点）

第3問　三角関数を二次関数に置き換える（25点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+19\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=19\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）

第4問　円の弦と三角形の面積の最大化（25点）

円 \\(x^2+y^2=361\\) の内部の点 \(Q(\frac{19}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{19}=44750731559645106\)。全割当ては \(19!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{92079694567171}{250298560512000}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/19\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+18}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{19}-\frac1{n+19}=\frac{n}{19(n+19)}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+19}{19}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=19+t-38t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

平方完成より

\[ f=19+\frac1{152}-38(t-\frac1{76})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=19\)、\(f(1)=-18\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{2889}{152}\ (\sin\theta=\frac1{76}),\quad\min f=-18\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(t-38t^2=0\) の解は0と \(1/38\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{38}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=\frac{19}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{1083}{4}\\)。

\[ \boxed{(\frac{19}{2},\pm \frac{19}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

直線は \(mx-y-\frac{19}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{361m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{361-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=19\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le19/2\)。面積の2乗は \(d^2(361-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(361-s)\) は \(0\le s\le361/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=\frac{361}{4}\sqrt{3},\quad x=\frac{19}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。