早稲田大学 教育学部・文系数学 数学記述模試 第038回
この回のテストポイント
- 第1問：空間の垂線と四面体
- 第2問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第3問：完全順列の漸化式と固定点
- 第4問：定義域のある二次関数とパラメータ
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 空間の垂線と四面体（25点）
空間で
を考える。
（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（7点）
（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（7点）
（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（11点）
第2問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（25点）
\(a_1=10,\ a_{n+1}=2a_n+10\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（11点）
第3問 完全順列の漸化式と固定点（25点）
\(10\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。
（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）
（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）
（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）
第4問 定義域のある二次関数とパラメータ（25点）
\(0\le x\le 20\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+100\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 空間の垂線と四面体
（1）
平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=60\)。距離は \(7s\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底面OABの面積は \(100\)、Cからこの底面までの高さは \(30\) なので体積は \(1000\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+10=2(a_n+10)\) なので \(a_n+10=20\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a_j/2^j=10(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 完全順列の漸化式と固定点
（1）
1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{10}=1334961\)。全割当ては \(10!\) 通り。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/10\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+100-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-10\le t\le 10\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
判別式より \(t>10\) または \(t<-10\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>10\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(20)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(500-40t\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。