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早稲田大学 教育学部・文系数学 数学記述模試 第031回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　線分上の点と内積・最大最小（25点）

\(O(0,0),B(16,0),C(0,8)\) とする。Pは線分BC上を動く。

（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（7点）

（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（7点）

（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（11点）

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=9,\ a_{n+2}=9a_{n+1}-8a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第3問　停止する試行と期待値の連立（25点）

表の確率が \(1/8\)、裏の確率が \(7/8\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（7点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（7点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（11点）

第4問　定義域のある二次関数とパラメータ（25点）

\(0\le x\le 16\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+64\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　線分上の点と内積・最大最小

（1）

\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{P=(16(1-t),8t),\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\[ OP^2=64(5t^2-8t+4)=564(t-4/5)^2+464/5 \]

。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-16,8)\) とOPの内積は0。

\[ \boxed{P=(\frac{16}{5},\frac{32}{5}),\quad\min OP=\frac{16}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

長方形の面積は \(128t(1-t)=32-128(t-1/2)^2\)。端点では面積0、内部の頂点で最大。

\[ \boxed{\max S=32,\quad P=(8,4)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=8(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(8\) なので \(a_{n+1}-a_n=8^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{8^n-1}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(8-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{8(8^n-1)-7n}{49}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=8a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-8a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{64},\quad P(T=3)=\frac{7}{512}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(p=1/8,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{72} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

1回の表までの平均は \(8\) 回なので合計2回の表までの平均は \(16\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=16,\quad\text{差}=56} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+64-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}64&t\le0\\64-t^2&0<t<16\\320-32t&t\ge16\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-8\le t\le 8\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le8} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

判別式より \(t>8\) または \(t<-8\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>8\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(16)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(320-32t\)。

\[ \boxed{8<t\le 10} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。