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早稲田大学 教育学部・文系数学 数学記述模試 第022回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　放物線の接線と囲まれた面積（25点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-576)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=25,\ a_{n+2}=25a_{n+1}-24a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第3問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(24\) 個、青玉 \(48\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

第4問　対数方程式の存在条件（25点）

\(\log_2 x+\log_2(24-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（7点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（7点）

（3）\(a=\log_2 108\) のとき、すべての解を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=576\)。

\[ \boxed{y=48x-576,\quad y=-48x-576} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

接点は \((\pm24,576)\)。底辺の長さは \(48\)、Pから底辺までの高さは \(1152\)。

\[ \boxed{27648} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-24)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{24}(x-24)^2\,dx\)。

\[ \boxed{9216} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=24(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(24\) なので \(a_{n+1}-a_n=24^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{24^n-1}{23}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(24-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{24(24^n-1)-23n}{529}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=24a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-24a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((24-1)/(72-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{23}{213}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{48(48-1)}{72(72-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{23}{119}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(24-1)<120-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{23}{119}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<24\)。\(x(24-x)=576/4-(x-24/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,576/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<24,\quad a\le\log_2 144} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 144:2\text{個};\quad a=\log_2 144:1\text{個};\quad a>\log_2 144:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(x(24-x)=108\) を解く。2つの解の和は \(24\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=6,\ 18} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。