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東京大学 前期・理科 数学記述模試 第080回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学III（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。

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問題

第1問　対数方程式の存在条件（20点）

\(\log_2 x+\log_2(3-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（6点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（6点）

（3）\(a=\log_2 \frac{27}{16}\) のとき、すべての解を求めなさい。（8点）

第2問　等周条件と三角形の面積（20点）

周の長さが \(18\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（6点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（6点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（8点）

第3問　標本平均と片側検定・必要標本数（20点）

ある母集団の母標準偏差は \(3\) で既知とする。独立な \(36\) 個の標本の平均は \(\bar x=51\) だった。帰無仮説 \(\mu=50\)、対立仮説 \(\mu>50\) を有意水準5%で検定する。標本平均は正規分布で近似でき、標準正規分布の上側5%点は1.645、両側95%区間には1.96を使う。

（1）標本平均の標準偏差と標準化した検定統計量を求めなさい。（6点）

（2）検定の結論を、対立仮説の向きと有意水準を含めて説明しなさい。（6点）

（3）母平均の95%信頼区間の半幅を0.5以下にする最小の標本数を求めなさい。（8点）

第4問　絶対値を含む面積の最適化（20点）

\(0\le a\le3\) とする。\(0\le x\le3\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（6点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（6点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（8点）

第5問　三角関数の積分漸化式（20点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（6点）

（2）\(I_{6}\) を求めなさい。（6点）

（3）\(I_{7}\) を求めなさい。（8点）

第6問　複素数の回転と正三角形（20点）

複素数平面で \(A=3,B=3i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（6点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（6点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<3\)。\(x(3-x)=9/4-(x-3/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,9/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<3,\quad a\le\log_2 \frac{9}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 \frac{9}{4}:2\text{個};\quad a=\log_2 \frac{9}{4}:1\text{個};\quad a>\log_2 \frac{9}{4}:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(x(3-x)=\frac{27}{16}\) を解く。2つの解の和は \(3\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{3}{4},\ \frac{9}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第2問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=18-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=18-2a,\quad \frac{9}{2}<a<9} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=9(9-a)^2(2a-9)\)。微分すると \((S^2)'=54(9-a)(6-a)\)。存在範囲で \(a=6\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=6,\quad S_{\max}=9\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(9\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=9r\)。

\[ \boxed{r=\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第3問　標本平均と片側検定・必要標本数

（1）

標本平均の標準偏差は

\[ \sigma/\sqrt n=3/\sqrt{36}=1/2 \]

。\(Z=(51-50)/(1/2)=2\)。

\[ \boxed{\sigma_{\bar X}=\frac12,\quad Z=2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

対立仮説は平均が大きいという片側。統計量2は上側5%点1.645を超えるため帰無仮説を棄却する。5%水準で母平均が50より大きいと判断する。帰無仮説が誤りである確率が95%という意味ではない。

\[ \boxed{\text{有意水準5\%で棄却する}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半幅は \(1.96\sigma/\sqrt n\)。\(1.96\cdot3/\sqrt n\le0.5\) を解くと \(n\ge(3.92\cdot3)^2\)。標本数は整数なので切り上げる。

\[ \boxed{139} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第4問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le3\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{3}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{9}{2}a+9} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{9}{2}\)。定義域内で \(a=3/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{3}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{9}{2}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(3\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{5}{32}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(3\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{16}{35}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{3}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=3\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{9}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{1}{2}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。