東京大学 前期・理科 数学記述模試 第065回
この回のテストポイント
- 第1問：対数方程式の存在条件
- 第2問：等周条件と三角形の面積
- 第3問：標本平均と片側検定・必要標本数
- 第4問：絶対値を含む面積の最適化
- 第5問：対数の評価と部分積分
- 第6問：1の累乗根と積・距離の和
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学III（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。
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問題
第1問 対数方程式の存在条件（20点）
\(\log_2 x+\log_2(32-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。
（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（6点）
（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（6点）
（3）\(a=\log_2 192\) のとき、すべての解を求めなさい。（8点）
第2問 等周条件と三角形の面積（20点）
周の長さが \(192\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（6点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（6点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（8点）
第3問 標本平均と片側検定・必要標本数（20点）
ある母集団の母標準偏差は \(32\) で既知とする。独立な \(4096\) 個の標本の平均は \(\bar x=51\) だった。帰無仮説 \(\mu=50\)、対立仮説 \(\mu>50\) を有意水準5%で検定する。標本平均は正規分布で近似でき、標準正規分布の上側5%点は1.645、両側95%区間には1.96を使う。
（1）標本平均の標準偏差と標準化した検定統計量を求めなさい。（6点）
（2）検定の結論を、対立仮説の向きと有意水準を含めて説明しなさい。（6点）
（3）母平均の95%信頼区間の半幅を0.5以下にする最小の標本数を求めなさい。（8点）
第4問 絶対値を含む面積の最適化（20点）
\(0\le a\le32\) とする。\(0\le x\le32\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。
（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（6点）
（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（6点）
（3）面積の最小値を求めなさい。（8点）
第5問 対数の評価と部分積分（20点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le32\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（6点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（6点）
（3）
を求めなさい。（8点）
第6問 1の累乗根と積・距離の和（20点）
方程式 \(z^32=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{31}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（6点）
（2）\(\sum_{j=0}^{31}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（6点）
（3）\(\prod_{j=1}^{31}(1-z_j)\) を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 対数方程式の存在条件
（1）
真数条件は \(0<x<32\)。\(x(32-x)=1024/4-(x-32/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,1024/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(x(32-x)=192\) を解く。2つの解の和は \(32\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第2問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=192-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=96(96-a)^2(2a-96)\)。微分すると \((S^2)'=576(96-a)(64-a)\)。存在範囲で \(a=64\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
半周長は \(96\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=96r\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第3問 標本平均と片側検定・必要標本数
（1）
標本平均の標準偏差は
。\(Z=(51-50)/(1/2)=2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
対立仮説は平均が大きいという片側。統計量2は上側5%点1.645を超えるため帰無仮説を棄却する。5%水準で母平均が50より大きいと判断する。帰無仮説が誤りである確率が95%という意味ではない。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
半幅は \(1.96\sigma/\sqrt n\)。\(1.96\cdot32/\sqrt n\le0.5\) を解くと \(n\ge(3.92\cdot32)^2\)。標本数は整数なので切り上げる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第4問 絶対値を含む面積の最適化
（1）
差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le32\) では曲線が上。
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(S'(a)=a^2-512\)。定義域内で \(a=32/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第5問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<32\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(32\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{31}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{31}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。