東京大学 前期・理科 数学記述模試 第062回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第2問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第3問：抽出方法と条件付き確率
- 第4問：逆数で線形化し差を足す
- 第5問：回転軸を変える体積計算
- 第6問：双曲線の接線と不変な面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学III（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。
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問題
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ（20点）
\(0\le x\le 64\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+1024\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（6点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（6点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（8点）
第2問 円の弦と三角形の面積の最大化（20点）
円 \\(x^2+y^2=1024\\) の内部の点 \(Q(16,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（6点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（6点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）
第3問 抽出方法と条件付き確率（20点）
袋に赤玉 \(32\) 個、青玉 \(64\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（6点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（6点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）
第4問 逆数で線形化し差を足す（20点）
で数列を定める。
（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（6点）
（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（6点）
（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（8点）
第5問 回転軸を変える体積計算（20点）
\(0\le x\le32\) で曲線 \(y=x(32-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（6点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（6点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）
第6問 双曲線の接線と不変な面積（20点）
第1象限の双曲線 \\(xy=1024\\) 上の点 \(P(t,1024/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（6点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（6点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+1024-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-32\le t\le 32\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
判別式より \(t>32\) または \(t<-32\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>32\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(64)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(5120-128t\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第2問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=16\) を円の式に代入する。\\(y^2=768\\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
直線は \(mx-y-16m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{1024m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{1024-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le32/2\)。面積の2乗は \(d^2(1024-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(1024-s)\) は \(0\le s\le1024/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第3問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((32-1)/(96-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{64(64-1)}{96(96-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(32-1)<160-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第4問 逆数で線形化し差を足す
（1）
初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
漸化式から
。和をとると中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第5問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{32}x(32-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(32-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le1024/4\)。左右の境界は
。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=1024/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-1024/t=-1024(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(2t\) と \(2048/t\)。その積が \(4096\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+2048/t\ge128\)。等号は \(t=32\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。