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東京大学 前期・理科 数学記述模試 第049回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学III（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。

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問題

第1問　三角関数を二次関数に置き換える（20点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+22\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（6点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（6点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=22\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（8点）

第2問　空間の垂線と四面体（20点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(22,0,0),B(0,44,0),C(0,0,66) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（6点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（6点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（8点）

第3問　完全順列の漸化式と固定点（20点）

\(22\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（6点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（6点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（8点）

第4問　重解を使う三次曲線の面積（20点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-1452x\) の \(x=22\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（6点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（6点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（8点）

第5問　区分求積と和の極限（20点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{22+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{22n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（6点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（6点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

第6問　楕円の接線と切片・回転体（20点）

楕円

\[ \frac{x^2}{1936}+\frac{y^2}{484}=1 \]

の第1象限の点 \(P(44\cos t,22\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（6点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（6点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=22+t-44t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

平方完成より

\[ f=22+\frac1{176}-44(t-\frac1{88})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=22\)、\(f(1)=-21\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{3873}{176}\ (\sin\theta=\frac1{88}),\quad\min f=-21\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(t-44t^2=0\) の解は0と \(1/44\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{44}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第2問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=132} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=132\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{792}{49},\frac{396}{49},\frac{264}{49}),\quad OH=\frac{132}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(484\)、Cからこの底面までの高さは \(66\) なので体積は \(10648\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{1694} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第3問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{22}=413496759611120779881\)。全割当ては \(22!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{6563440628747948887}{17841281393295360000}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/22\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第4問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(22)=0\) なので \(l:y=-21296\)。差は \((x-22)^2(x+44)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-44,-21296),\quad(22,-21296)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

区間 \([-44,22]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-44}^{22}(x^3-1452x+21296)\,dx \]

。原始関数は \\(x^4/4-726x^2+21296x\\)。

\[ \boxed{1581228} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{22}(f(x)+21296)\,dx=175692 \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第5問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{22+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{22+j/n} \]

は \(g(x)=1/(22+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{22+x}\,dx=[\frac23(22+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(23\sqrt{23}-22\sqrt{22})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{22+x}\,dx=[\log(22+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{23}{22}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{44}+\frac{y\sin t}{22}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(44/\cos t\)、\(22/\sin t\)。面積は \(484/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=968,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(484\(1-x^2/1936\)\)。\(-44\le x\le44\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{85184}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。