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東京大学 前期・理科 数学記述模試 第042回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学III（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。

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問題

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ（20点）

\(0\le x\le 42\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+441\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（6点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（6点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（8点）

第2問　円の弦と三角形の面積の最大化（20点）

円 \\(x^2+y^2=441\\) の内部の点 \(Q(\frac{21}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（6点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（6点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）

第3問　抽出方法と条件付き確率（20点）

袋に赤玉 \(21\) 個、青玉 \(42\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（6点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（6点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）

第4問　逆数で線形化し差を足す（20点）

\[ a_1=1/21,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（6点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（6点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（8点）

第5問　三角関数の積分漸化式（20点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（6点）

（2）\(I_{42}\) を求めなさい。（6点）

（3）\(I_{43}\) を求めなさい。（8点）

第6問　複素数の回転と正三角形（20点）

複素数平面で \(A=21,B=21i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（6点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（6点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+441-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}441&t\le0\\441-t^2&0<t<42\\2205-84t&t\ge42\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-21\le t\le 21\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le21} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

判別式より \(t>21\) または \(t<-21\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>21\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(42)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(2205-84t\)。

\[ \boxed{21<t\le \frac{105}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第2問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=\frac{21}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{1323}{4}\\)。

\[ \boxed{(\frac{21}{2},\pm \frac{21}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

直線は \(mx-y-\frac{21}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{441m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{441-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=21\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le21/2\)。面積の2乗は \(d^2(441-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(441-s)\) は \(0\le s\le441/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=\frac{441}{4}\sqrt{3},\quad x=\frac{21}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第3問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((21-1)/(63-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{10}{93}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{42(42-1)}{63(63-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{5}{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(21-1)<105-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{5}{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第4問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+20}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{21}-\frac1{n+21}=\frac{n}{21(n+21)}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+21}{21}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(21\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{67282234305}{1099511627776}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(21\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{549755813888}{2893136075115}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{21}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=21\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{441}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{7}{2}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=7\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。