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東京大学 前期・理科 数学記述模試 第039回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学III（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。

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問題

第1問　三角関数を二次関数に置き換える（20点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+20\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（6点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（6点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=20\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（8点）

第2問　空間の垂線と四面体（20点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(20,0,0),B(0,40,0),C(0,0,60) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（6点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（6点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（8点）

第3問　完全順列の漸化式と固定点（20点）

\(20\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（6点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（6点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（8点）

第4問　重解を使う三次曲線の面積（20点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-1200x\) の \(x=20\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（6点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（6点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（8点）

第5問　区分求積と和の極限（20点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{20+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{20n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（6点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（6点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

第6問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（20点）

複素数zが \(|z-20|=2|z+20|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（6点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（6点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=20+t-40t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

平方完成より

\[ f=20+\frac1{160}-40(t-\frac1{80})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=20\)、\(f(1)=-19\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{3201}{160}\ (\sin\theta=\frac1{80}),\quad\min f=-19\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(t-40t^2=0\) の解は0と \(1/40\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{40}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第2問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=120} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=120\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{720}{49},\frac{360}{49},\frac{240}{49}),\quad OH=\frac{120}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(400\)、Cからこの底面までの高さは \(60\) なので体積は \(8000\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{1400} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第3問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{20}=895014631192902121\)。全割当ては \(20!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{4282366656425369}{11640679464960000}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/20\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第4問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(20)=0\) なので \(l:y=-16000\)。差は \((x-20)^2(x+40)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-40,-16000),\quad(20,-16000)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

区間 \([-40,20]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-40}^{20}(x^3-1200x+16000)\,dx \]

。原始関数は \\(x^4/4-600x^2+16000x\\)。

\[ \boxed{1080000} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{20}(f(x)+16000)\,dx=120000 \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第5問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{20+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{20+j/n} \]

は \(g(x)=1/(20+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{20+x}\,dx=[\frac23(20+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(21\sqrt{21}-40\sqrt{5})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{20+x}\,dx=[\log(20+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{21}{20}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-20)^2+y^2=4((x+20)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{100}{3})^2+y^2=\frac{6400}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(100/3\)、半径は \(80/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=60\ (z=-60),\quad\min|z|=\frac{20}{3}\ (z=-\frac{20}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-20w|=2|1+20w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{1}{12})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{1}{225}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。