東京大学 前期・理科 数学記述模試 第004回
この回のテストポイント
- 第1問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第2問：空間の垂線と四面体
- 第3問：完全順列の漸化式と固定点
- 第4問：重解を使う三次曲線の面積
- 第5問：回転軸を変える体積計算
- 第6問：双曲線の接線と不変な面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学III（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。
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問題
第1問 三角関数を二次関数に置き換える（20点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（6点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（6点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=13\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（8点）
第2問 空間の垂線と四面体（20点）
空間で
を考える。
（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（6点）
（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（6点）
（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（8点）
第3問 完全順列の漸化式と固定点（20点）
\(13\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。
（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（6点）
（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（6点）
（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（8点）
第4問 重解を使う三次曲線の面積（20点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-507x\) の \(x=13\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（6点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（6点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（8点）
第5問 回転軸を変える体積計算（20点）
\(0\le x\le13\) で曲線 \(y=x(13-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（6点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（6点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）
第6問 双曲線の接線と不変な面積（20点）
第1象限の双曲線 \\(xy=169\\) 上の点 \(P(t,169/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（6点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（6点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=13\)、\(f(1)=-12\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(t-26t^2=0\) の解は0と \(1/26\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第2問 空間の垂線と四面体
（1）
平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=78\)。距離は \(7s\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
底面OABの面積は \(169\)、Cからこの底面までの高さは \(39\) なので体積は \(2197\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第3問 完全順列の漸化式と固定点
（1）
1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{13}=2290792932\)。全割当ては \(13!\) 通り。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/13\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第4問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(13)=0\) なので \(l:y=-4394\)。差は \((x-13)^2(x+26)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
区間 \([-26,13]\) では差は非負。
。原始関数は \\(x^4/4-\frac{507}{2}x^2+4394x\\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第5問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{13}x(13-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(13-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le169/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(13\pm\sqrt{169-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=169/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-169/t=-169(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(2t\) と \(338/t\)。その積が \(676\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+338/t\ge52\)。等号は \(t=13\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。