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東京大学 前期・文科 数学記述模試 第086回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。

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問題

第1問　三次方程式の実数解の個数（20点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-2187x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（6点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（6点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（8点）

第2問　放物線の接線と囲まれた面積（20点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-729)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（6点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（6点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（8点）

第3問　完全順列の漸化式と固定点（20点）

\(27\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（6点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（6点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（8点）

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明（20点）

\[ a_1=1,\ a_2=28,\ a_{n+2}=28a_{n+1}-27a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（6点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（6点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-27)(x+27)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-27\) で極大、\(x=27\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }39366,\quad\text{極小値 }-39366} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-39366<a<39366} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(a=39366\) では \(f(x)-a=(x-54)(x+27)^2\)。\(a=-39366\) では \(f(x)-a=(x+54)(x-27)^2\)。

\[ \boxed{a=39366:x=-27,54;\quad a=-39366:x=-54,27} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第2問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=729\)。

\[ \boxed{y=54x-729,\quad y=-54x-729} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

接点は \((\pm27,729)\)。底辺の長さは \(54\)、Pから底辺までの高さは \(1458\)。

\[ \boxed{39366} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-27)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{27}(x-27)^2\,dx\)。

\[ \boxed{13122} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第3問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると

\[ D_{27}=4005791208408693667174771274 \]

。全割当ては \(27!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{14006262966463963871240459}{38072970106357874688000000}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/27\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=27(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(27\) なので \(a_{n+1}-a_n=27^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{27^n-1}{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(27-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{27(27^n-1)-26n}{676}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=27a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-27a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。