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東京大学 前期・文科 数学記述模試 第084回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。

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問題

第1問　三角関数を二次関数に置き換える（20点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+18\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（6点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（6点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=18\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（8点）

第2問　空間の垂線と四面体（20点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(18,0,0),B(0,36,0),C(0,0,54) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（6点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（6点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（8点）

第3問　抽出方法と条件付き確率（20点）

袋に赤玉 \(18\) 個、青玉 \(36\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（6点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（6点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）

第4問　絶対値を含む面積の最適化（20点）

\(0\le a\le18\) とする。\(0\le x\le18\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（6点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（6点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=18+t-36t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

平方完成より

\[ f=18+\frac1{144}-36(t-\frac1{72})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=18\)、\(f(1)=-17\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{2593}{144}\ (\sin\theta=\frac1{72}),\quad\min f=-17\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(t-36t^2=0\) の解は0と \(1/36\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{36}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第2問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=108} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=108\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{648}{49},\frac{324}{49},\frac{216}{49}),\quad OH=\frac{108}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(324\)、Cからこの底面までの高さは \(54\) なので体積は \(5832\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{1134} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第3問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((18-1)/(54-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{17}{159}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{36(36-1)}{54(54-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{17}{89}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(18-1)<90-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{17}{89}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第4問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le18\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{18}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-162a+1944} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-162\)。定義域内で \(a=18/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=9\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=972(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。