東京大学 前期・文科 数学記述模試 第066回
この回のテストポイント
- 第1問：三次方程式の実数解の個数
- 第2問：放物線の接線と囲まれた面積
- 第3問：停止する試行と期待値の連立
- 第4問：重解を使う三次曲線の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。
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問題
第1問 三次方程式の実数解の個数（20点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-675x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（6点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（6点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（8点）
第2問 放物線の接線と囲まれた面積（20点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-225)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（6点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（6点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（8点）
第3問 停止する試行と期待値の連立（20点）
表の確率が \(1/15\)、裏の確率が \(14/15\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。
（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（6点）
（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（6点）
（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（8点）
第4問 重解を使う三次曲線の面積（20点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-675x\) の \(x=15\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（6点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（6点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-15)(x+15)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-15\) で極大、\(x=15\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a=6750\) では \(f(x)-a=(x-30)(x+15)^2\)。\(a=-6750\) では \(f(x)-a=(x+30)(x-15)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第2問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=225\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
接点は \((\pm15,225)\)。底辺の長さは \(30\)、Pから底辺までの高さは \(450\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-15)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{15}(x-15)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第3問 停止する試行と期待値の連立
（1）
2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(p=1/15,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
1回の表までの平均は \(15\) 回なので合計2回の表までの平均は \(30\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第4問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(15)=0\) なので \(l:y=-6750\)。差は \((x-15)^2(x+30)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（2）
区間 \([-30,15]\) では差は非負。
。原始関数は \\(x^4/4-\frac{675}{2}x^2+6750x\\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。