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東京大学 前期・文科 数学記述模試 第044回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。

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問題

第1問　三角関数を二次関数に置き換える（20点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+11\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（6点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（6点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=11\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（8点）

第2問　空間の垂線と四面体（20点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(11,0,0),B(0,22,0),C(0,0,33) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（6点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（6点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（8点）

第3問　標本平均と片側検定・必要標本数（20点）

ある母集団の母標準偏差は \(11\) で既知とする。独立な \(484\) 個の標本の平均は \(\bar x=51\) だった。帰無仮説 \(\mu=50\)、対立仮説 \(\mu>50\) を有意水準5%で検定する。標本平均は正規分布で近似でき、標準正規分布の上側5%点は1.645、両側95%区間には1.96を使う。

（1）標本平均の標準偏差と標準化した検定統計量を求めなさい。（6点）

（2）検定の結論を、対立仮説の向きと有意水準を含めて説明しなさい。（6点）

（3）母平均の95%信頼区間の半幅を0.5以下にする最小の標本数を求めなさい。（8点）

第4問　逆数で線形化し差を足す（20点）

\[ a_1=1/11,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（6点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（6点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=11+t-22t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

平方完成より

\[ f=11+\frac1{88}-22(t-\frac1{44})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=11\)、\(f(1)=-10\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{969}{88}\ (\sin\theta=\frac1{44}),\quad\min f=-10\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(t-22t^2=0\) の解は0と \(1/22\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{22}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第2問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=66} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=66\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{396}{49},\frac{198}{49},\frac{132}{49}),\quad OH=\frac{66}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(121\)、Cからこの底面までの高さは \(33\) なので体積は \(1331\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{847}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第3問　標本平均と片側検定・必要標本数

（1）

標本平均の標準偏差は

\[ \sigma/\sqrt n=11/\sqrt{484}=1/2 \]

。\(Z=(51-50)/(1/2)=2\)。

\[ \boxed{\sigma_{\bar X}=\frac12,\quad Z=2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

対立仮説は平均が大きいという片側。統計量2は上側5%点1.645を超えるため帰無仮説を棄却する。5%水準で母平均が50より大きいと判断する。帰無仮説が誤りである確率が95%という意味ではない。

\[ \boxed{\text{有意水準5\%で棄却する}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半幅は \(1.96\sigma/\sqrt n\)。\(1.96\cdot11/\sqrt n\le0.5\) を解くと \(n\ge(3.92\cdot11)^2\)。標本数は整数なので切り上げる。

\[ \boxed{1860} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第4問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+10}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{11}-\frac1{n+11}=\frac{n}{11(n+11)}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+11}{11}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。