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東京大学 前期・文科 数学記述模試 第022回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。

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問題

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ（20点）

\(0\le x\le 14\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+49\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（6点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（6点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（8点）

第2問　円の弦と三角形の面積の最大化（20点）

円 \\(x^2+y^2=49\\) の内部の点 \(Q(\frac{7}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（6点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（6点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）

第3問　抽出方法と条件付き確率（20点）

袋に赤玉 \(7\) 個、青玉 \(14\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（6点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（6点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）

第4問　固定点を引く漸化式と重み付きの和（20点）

\(a_1=7,\ a_{n+1}=2a_n+7\) で定まる数列を考える。

（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（6点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（6点）

（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+49-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}49&t\le0\\49-t^2&0<t<14\\245-28t&t\ge14\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-7\le t\le 7\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le7} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

判別式より \(t>7\) または \(t<-7\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>7\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(14)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(245-28t\)。

\[ \boxed{7<t\le \frac{35}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第2問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=\frac{7}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{147}{4}\\)。

\[ \boxed{(\frac{7}{2},\pm \frac{7}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

直線は \(mx-y-\frac{7}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{49m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{49-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=7\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le7/2\)。面積の2乗は \(d^2(49-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(49-s)\) は \(0\le s\le49/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=\frac{49}{4}\sqrt{3},\quad x=\frac{7}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第3問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((7-1)/(21-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{1}{10}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{14(14-1)}{21(21-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{3}{17}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(7-1)<35-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{3}{17}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第4問　固定点を引く漸化式と重み付きの和

（1）

\(a_{n+1}+7=2(a_n+7)\) なので \(a_n+7=14\cdot2^{n-1}\)。

\[ \boxed{a_n=7(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。

\[ \boxed{S_n=7(2^{n+1}-n-2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(a_j/2^j=7(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。

\[ \boxed{7(n-1+2^{-n})} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。