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東京大学 前期・文科 数学記述模試 第020回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。

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問題

第1問　対数方程式の存在条件（20点）

\(\log_2 x+\log_2(6-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。

（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（6点）

（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（6点）

（3）\(a=\log_2 \frac{27}{4}\) のとき、すべての解を求めなさい。（8点）

第2問　等周条件と三角形の面積（20点）

周の長さが \(36\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（6点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（6点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（8点）

第3問　標本平均と片側検定・必要標本数（20点）

ある母集団の母標準偏差は \(6\) で既知とする。独立な \(144\) 個の標本の平均は \(\bar x=51\) だった。帰無仮説 \(\mu=50\)、対立仮説 \(\mu>50\) を有意水準5%で検定する。標本平均は正規分布で近似でき、標準正規分布の上側5%点は1.645、両側95%区間には1.96を使う。

（1）標本平均の標準偏差と標準化した検定統計量を求めなさい。（6点）

（2）検定の結論を、対立仮説の向きと有意水準を含めて説明しなさい。（6点）

（3）母平均の95%信頼区間の半幅を0.5以下にする最小の標本数を求めなさい。（8点）

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明（20点）

\[ a_1=1,\ a_2=7,\ a_{n+2}=7a_{n+1}-6a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（6点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（6点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　対数方程式の存在条件

（1）

真数条件は \(0<x<6\)。\(x(6-x)=36/4-(x-6/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,36/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。

\[ \boxed{0<x<6,\quad a\le\log_2 9} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。

\[ \boxed{a<\log_2 9:2\text{個};\quad a=\log_2 9:1\text{個};\quad a>\log_2 9:0\text{個}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(x(6-x)=\frac{27}{4}\) を解く。2つの解の和は \(6\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。

\[ \boxed{x=\frac{3}{2},\ \frac{9}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第2問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=36-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=36-2a,\quad 9<a<18} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=18(18-a)^2(2a-18)\)。微分すると \((S^2)'=108(18-a)(12-a)\)。存在範囲で \(a=12\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=12,\quad S_{\max}=36\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半周長は \(18\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=18r\)。

\[ \boxed{r=2\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第3問　標本平均と片側検定・必要標本数

（1）

標本平均の標準偏差は

\[ \sigma/\sqrt n=6/\sqrt{144}=1/2 \]

。\(Z=(51-50)/(1/2)=2\)。

\[ \boxed{\sigma_{\bar X}=\frac12,\quad Z=2} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

対立仮説は平均が大きいという片側。統計量2は上側5%点1.645を超えるため帰無仮説を棄却する。5%水準で母平均が50より大きいと判断する。帰無仮説が誤りである確率が95%という意味ではない。

\[ \boxed{\text{有意水準5\%で棄却する}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

半幅は \(1.96\sigma/\sqrt n\)。\(1.96\cdot6/\sqrt n\le0.5\) を解くと \(n\ge(3.92\cdot6)^2\)。標本数は整数なので切り上げる。

\[ \boxed{554} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=6(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(6\) なので \(a_{n+1}-a_n=6^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{6^n-1}{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入して \(1/(6-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{6(6^n-1)-5n}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=6a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-6a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。