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東京大学 前期・文科 数学記述模試 第017回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。

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問題

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ（20点）

\(0\le x\le 12\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+36\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（6点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（6点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（8点）

第2問　円の弦と三角形の面積の最大化（20点）

円 \\(x^2+y^2=36\\) の内部の点 \(Q(3,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（6点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（6点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）

第3問　抽出方法と条件付き確率（20点）

袋に赤玉 \(6\) 個、青玉 \(12\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（6点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（6点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）

第4問　絶対値を含む面積の最適化（20点）

\(0\le a\le6\) とする。\(0\le x\le6\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（6点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（6点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+36-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}36&t\le0\\36-t^2&0<t<12\\180-24t&t\ge12\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-6\le t\le 6\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le6} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

判別式より \(t>6\) または \(t<-6\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>6\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(12)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(180-24t\)。

\[ \boxed{6<t\le \frac{15}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第2問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=3\) を円の式に代入する。\\(y^2=27\\)。

\[ \boxed{(3,\pm 3\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

直線は \(mx-y-3m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{36m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{36-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=6\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le6/2\)。面積の2乗は \(d^2(36-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(36-s)\) は \(0\le s\le36/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=9\sqrt{3},\quad x=3} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第3問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((6-1)/(18-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{5}{51}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{12(12-1)}{18(18-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{5}{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(6-1)<30-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{5}{29}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第4問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le6\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{6}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-18a+72} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-18\)。定義域内で \(a=6/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=3\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=36(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。