J 受験ヒーロー

電気通信大学 後期・情報理工学域 数学記述模試 第015回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　二次方程式の解の符号（17点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+1024=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）

第2問　等差数列の一般項・和・境界（17点）

初項32、公差2の等差数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）\(a_n\ge 96\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第3問　委員選出と余事象の数え上げ（17点）

男子32人、女子32人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（5点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（5点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（7点）

第4問　円と直線の交点数・弦の長さ（17点）

円 \\(x^2+y^2=1024\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（5点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（7点）

第5問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）

複素数zが \(|z-32|=2|z+32|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）

第6問　対数の評価と部分積分（16点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le32\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（4点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（4点）

（3）

\[ \int_1^{32}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-1024)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-32\ \text{または}\ t\ge32} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>32} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

解の積は \(1024\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{1024}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　等差数列の一般項・和・境界

（1）

初項に公差のn−1倍を加える。

\[ \boxed{a_n=32+2(n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初項と末項の平均に項数を掛ける。

\[ \boxed{S_n=n(n+31)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。

\[ \boxed{33} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{41664} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{15872} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{31744} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-1024=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-32\sqrt2\le a\le32\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm32\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{4096-2a^2},\quad\max L=64\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-32)^2+y^2=4((x+32)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{160}{3})^2+y^2=\frac{16384}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

原点から中心までの距離は \(160/3\)、半径は \(128/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=96\ (z=-96),\quad\min|z|=\frac{32}{3}\ (z=-\frac{32}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-32w|=2|1+32w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{96})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{1}{576}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<32\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log32+1}{32}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。