J 受験ヒーロー

電気通信大学 後期・情報理工学域 数学記述模試 第004回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　直角三角形の三角比と内接円（17点）

直角三角形ABCで角Aが直角、AB=22、AC=44とする。

（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（5点）

（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（5点）

（3）内接円の半径を求めなさい。（7点）

第2問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+22)(n+23)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{46}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第3問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を22回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第4問　指数方程式・不等式と置換（17点）

\(F(x)=4^x-23\cdot2^x+22\) とする。

（1）F(x)=0を解きなさい。（5点）

（2）F(x)≤0を解きなさい。（5点）

（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（7点）

第5問　複素数の回転と正三角形（16点）

複素数平面で \(A=22,B=22i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（4点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）

第6問　回転軸を変える体積計算（16点）

\(0\le x\le22\) で曲線 \(y=x(22-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（4点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　直角三角形の三角比と内接円

（1）

三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。

\[ \boxed{BC=22\sqrt5,\quad\cos B=\frac1{\sqrt5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

面積は \(484\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。

\[ \boxed{\frac{44}{5}\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。

\[ \boxed{r=11(3-\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+22}-\frac1{n+23}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{23(n+23)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(22\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{231}{4194304}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{4194303}{4194304}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{77}{1398101}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　指数方程式・不等式と置換

（1）

\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-23u+22=(u-1)(u-22)\)。

\[ \boxed{x=0,\log_222} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。

\[ \boxed{0\le x\le\log_222} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。

\[ \boxed{\min F=-\frac{441}{4},\quad x=\log_2\frac{23}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=11(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(|B-A|=22\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=242\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{11}{3}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{22}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{22}x(22-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{5324}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切り口は半径 \(x(22-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{22}x^2(22-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{2576816}{15}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(0\le y\le484/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(22\pm\sqrt{484-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=22\pi\sqrt{484-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{117128}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。