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東京理科大学 B方式・理工系 数学記述模試 第086回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(27,0)、半径がともに27の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第2問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le27\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{27}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第3問　停止する試行と期待値の連立（17点）

表の確率が \(1/27\)、裏の確率が \(26/27\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（5点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（5点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（7点）

第4問　等比数列と奇数番目の項の和（17点）

初項27、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（7点）

第5問　楕円の接線と切片・回転体（16点）

楕円

\[ \frac{x^2}{2916}+\frac{y^2}{729}=1 \]

の第1象限の点 \(P(54\cos t,27\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）

第6問　三次方程式の実数解の個数（16点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-2187x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（4点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（4点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{27}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{27}{2},\frac{27}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{27}{2},-\frac{27}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{27\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{729}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<27\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log27+1}{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{729},\quad P(T=3)=\frac{26}{19683}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(p=1/27,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{756} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

1回の表までの平均は \(27\) 回なので合計2回の表までの平均は \(54\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=54,\quad\text{差}=702} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=27\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=27(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=9(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{54}+\frac{y\sin t}{27}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(54/\cos t\)、\(27/\sin t\)。面積は \(729/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=1458,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(729\(1-x^2/2916\)\)。\(-54\le x\le54\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{52488\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-27)(x+27)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-27\) で極大、\(x=27\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }39366,\quad\text{極小値 }-39366} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-39366<a<39366} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(a=39366\) では \(f(x)-a=(x-54)(x+27)^2\)。\(a=-39366\) では \(f(x)-a=(x+54)(x-27)^2\)。

\[ \boxed{a=39366:x=-27,54;\quad a=-39366:x=-54,27} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。