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東京理科大学 B方式・理工系 数学記述模試 第067回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　空間の垂線と四面体（17点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(12,0,0),B(0,24,0),C(0,0,36) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（5点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（5点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（7点）

第2問　指数関数の最大値と積分の極限（17点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-12x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）

第3問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を12回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第4問　等比数列と奇数番目の項の和（17点）

初項12、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（7点）

第5問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）

複素数zが \(|z-12|=2|z+12|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）

第6問　三次方程式の実数解の個数（16点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-432x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（4点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（4点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=72} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=72\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{432}{49},\frac{216}{49},\frac{144}{49}),\quad OH=\frac{72}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底面OABの面積は \(144\)、Cからこの底面までの高さは \(36\) なので体積は \(1728\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{504} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-12x}(1-12x)\)。指数因子は正なので \(x=1/12\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{12},\quad\max f=\frac1{12e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{12x+1}{144}e^{-12x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(12a+1)e^{-12a}}{144}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(e^{-12a}\) と \(ae^{-12a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{144}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(12\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{33}{2048}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{4095}{4096}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{22}{1365}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=12\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=12(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=4(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-12)^2+y^2=4((x+12)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+20)^2+y^2=256} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

原点から中心までの距離は \(60/3\)、半径は \(48/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=36\ (z=-36),\quad\min|z|=4\ (z=-4)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-12w|=2|1+12w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{36})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{1}{81}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-12)(x+12)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-12\) で極大、\(x=12\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }3456,\quad\text{極小値 }-3456} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-3456<a<3456} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(a=3456\) では \(f(x)-a=(x-24)(x+12)^2\)。\(a=-3456\) では \(f(x)-a=(x+24)(x-12)^2\)。

\[ \boxed{a=3456:x=-12,24;\quad a=-3456:x=-24,12} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。