東京理科大学 B方式・理工系 数学記述模試 第065回
この回のテストポイント
- 第1問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第2問：区分求積と和の極限
- 第3問：整数を選ぶ確率と条件付き確率
- 第4問：絶対値を含む面積の最適化
- 第5問：1の累乗根と積・距離の和
- 第6問：データの変換と分散
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 円の弦と三角形の面積の最大化（17点）
円 \\(x^2+y^2=100\\) の内部の点 \(Q(5,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）
第2問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、
とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第3問 整数を選ぶ確率と条件付き確率（17点）
1から20までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを10より大きい数が出る事象とする。
（1）P(A),P(B)を求めなさい。（5点）
（2）P(A∩B)を求めなさい。（5点）
（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（7点）
第4問 絶対値を含む面積の最適化（17点）
\(0\le a\le10\) とする。\(0\le x\le10\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。
（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）
（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）
（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）
第5問 1の累乗根と積・距離の和（16点）
方程式 \(z^10=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{9}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（4点）
（2）\(\sum_{j=0}^{9}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（4点）
（3）\(\prod_{j=1}^{9}(1-z_j)\) を求めなさい。（8点）
第6問 データの変換と分散（16点）
5個のデータは \(8,9,10,11,12\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。
（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（4点）
（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（4点）
（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（8点）
解答・解説
第1問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=5\) を円の式に代入する。\\(y^2=75\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
直線は \(mx-y-5m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{100m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{100-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le10/2\)。面積の2乗は \(d^2(100-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(100-s)\) は \(0\le s\le100/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{10+x}\)、
は \(g(x)=1/(10+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 整数を選ぶ確率と条件付き確率
（1）
偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
共通部分の偶数の個数は \(10-\lfloor10/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 絶対値を含む面積の最適化
（1）
差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le10\) では曲線が上。
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(S'(a)=a^2-50\)。定義域内で \(a=10/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(10\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{9}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{9}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 データの変換と分散
（1）
平均は中央の \(10\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。