J 受験ヒーロー

東京理科大学 経営学部 数学記述模試 第086回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　等周条件と三角形の面積（25点）

周の長さが \(168\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。

（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）

（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）

（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）

第2問　定義域のある二次関数とパラメータ（25点）

\(0\le x\le 56\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+784\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）

第3問　等比数列と奇数番目の項の和（25点）

初項28、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（11点）

第4問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(28\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　等周条件と三角形の面積

（1）

\(b=168-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。

\[ \boxed{b=168-2a,\quad 42<a<84} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=84(84-a)^2(2a-84)\)。微分すると \((S^2)'=504(84-a)(56-a)\)。存在範囲で \(a=56\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。

\[ \boxed{a=b=56,\quad S_{\max}=784\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

半周長は \(84\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=84r\)。

\[ \boxed{r=\frac{28}{3}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+784-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}784&t\le0\\784-t^2&0<t<56\\3920-112t&t\ge56\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-28\le t\le 28\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le28} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

判別式より \(t>28\) または \(t<-28\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>28\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(56)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(3920-112t\)。

\[ \boxed{28<t\le 35} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=28\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=28(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{28}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると

\[ D_{28}=112162153835443422680893595673 \]

。全割当ては \(28!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{461572649528573755888451011}{1254684545727217532928000000}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/28\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。