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東京理科大学 経営学部 数学記述模試 第067回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　内積・角度とベクトルの射影（25点）

\[ \mathbf a=(29,1),\ \mathbf b=(1,29) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（7点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（7点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（11点）

第2問　三角関数を二次関数に置き換える（25点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+29\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=29\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）

第3問　等比数列と奇数番目の項の和（25点）

初項29、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（11点）

第4問　停止する試行と期待値の連立（25点）

表の確率が \(1/29\)、裏の確率が \(28/29\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（7点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（7点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=58,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{842}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{29}{421}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=842t^2-116t+842 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{352800}{421},\quad t=\frac{29}{421}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=29+t-58t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

平方完成より

\[ f=29+\frac1{232}-58(t-\frac1{116})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=29\)、\(f(1)=-28\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{6729}{232}\ (\sin\theta=\frac1{116}),\quad\min f=-28\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(t-58t^2=0\) の解は0と \(1/58\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{58}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=29\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=29(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=\frac{29}{3}(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{841},\quad P(T=3)=\frac{28}{24389}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(p=1/29,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{870} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

1回の表までの平均は \(29\) 回なので合計2回の表までの平均は \(58\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=58,\quad\text{差}=812} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。