東京理科大学 経営学部 数学記述模試 第052回
この回のテストポイント
- 第1問：内積・角度とベクトルの射影
- 第2問：直角三角形の三角比と内接円
- 第3問：等比数列と奇数番目の項の和
- 第4問：完全順列の漸化式と固定点
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 内積・角度とベクトルの射影（25点）
とする。
（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（7点）
（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（7点）
（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（11点）
第2問 直角三角形の三角比と内接円（25点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=30、AC=60とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（7点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（7点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（11点）
第3問 等比数列と奇数番目の項の和（25点）
初項30、公比2の等比数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（11点）
第4問 完全順列の漸化式と固定点（25点）
\(30\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。
（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）
（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）
（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 内積・角度とベクトルの射影
（1）
対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
。平方完成して頂点を求める。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
面積は \(900\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 等比数列と奇数番目の項の和
（1）
初項に公比のn−1乗を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 完全順列の漸化式と固定点
（1）
1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
初期値から前問の漸化式を順に計算すると
。全割当ては \(30!\) 通り。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/30\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。