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東京理科大学 経営学部 数学記述模試 第034回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　合同な2円の交点と共通弦（25点）

中心O(0,0)、A(26,0)、半径がともに26の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（7点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（11点）

第2問　二次関数の頂点・解・不等式（25点）

実数全体で \(f(x)=x^2-52x+650\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）

第3問　絶対値を含む面積の最適化（25点）

\(0\le a\le26\) とする。\(0\le x\le26\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）

第4問　完全順列の漸化式と固定点（25点）

\(26\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(13\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(13,13\sqrt{3}),\quad Q=(13,-13\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{26\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{169\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-26)^2-26\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-26,\quad x=26} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\((x-26)^2=26\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=26\pm\sqrt{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{26-\sqrt{26}\le x\le 26+\sqrt{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le26\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{26}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-338a+\frac{17576}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(S'(a)=a^2-338\)。定義域内で \(a=26/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=13\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{8788}{3}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると

\[ D_{26}=148362637348470135821287825 \]

。全割当ては \(26!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{5934505493938805432851513}{16131658445064225423360000}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/26\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。