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東京農工大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第074回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{24+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{24n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第2問　円と直線の交点数・弦の長さ（17点）

円 \\(x^2+y^2=576\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（5点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（5点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（7点）

第3問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{2304}+\frac{y^2}{576}=1 \]

の第1象限の点 \(P(48\cos t,24\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第4問　二次方程式の解の符号（17点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+576=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）

第5問　合同な2円の交点と共通弦（16点）

中心O(0,0)、A(24,0)、半径がともに24の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（4点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（8点）

第6問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(24,1),\ \mathbf b=(1,24) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{24+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{24+j/n} \]

は \(g(x)=1/(24+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{24+x}\,dx=[\frac23(24+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(125-48\sqrt{6})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{24+x}\,dx=[\log(24+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{25}{24}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-576=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-24\sqrt2\le a\le24\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm24\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{2304-2a^2},\quad\max L=48\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{48}+\frac{y\sin t}{24}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(48/\cos t\)、\(24/\sin t\)。面積は \(576/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=1152,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(576\(1-x^2/2304\)\)。\(-48\le x\le48\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{36864\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-576)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-24\ \text{または}\ t\ge24} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>24} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

解の積は \(576\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{576}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(12\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(12,12\sqrt{3}),\quad Q=(12,-12\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{24\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{144\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=48,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{577}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{48}{577}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=577t^2-96t+577 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{330625}{577},\quad t=\frac{48}{577}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。