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東京農工大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第061回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le10\) で曲線 \(y=x(10-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第2問　指数方程式・不等式と置換（17点）

\(F(x)=4^x-11\cdot2^x+10\) とする。

（1）F(x)=0を解きなさい。（5点）

（2）F(x)≤0を解きなさい。（5点）

（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（7点）

第3問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{100}=1 \]

の第1象限の点 \(P(20\cos t,10\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第4問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-20x+90\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第5問　余弦定理・面積・正弦定理（16点）

三角形ABCでAB=10、AC=20、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（4点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（4点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（8点）

第6問　内分点・内積・三角形の面積（16点）

A(0,0)、B(20,0)、C(0,20)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）

（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（4点）

（3）三角形APQの面積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{10}x(10-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{500}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(10-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{10}x^2(10-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{10000}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le100/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(10\pm\sqrt{100-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=10\pi\sqrt{100-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{5000}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　指数方程式・不等式と置換

（1）

\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-11u+10=(u-1)(u-10)\)。

\[ \boxed{x=0,\log_210} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。

\[ \boxed{0\le x\le\log_210} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。

\[ \boxed{\min F=-\frac{81}{4},\quad x=\log_2\frac{11}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{20}+\frac{y\sin t}{10}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(20/\cos t\)、\(10/\sin t\)。面積は \(100/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=200,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(100\(1-x^2/400\)\)。\(-20\le x\le20\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{8000}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-10)^2-10\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-10,\quad x=10} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-10)^2=10\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=10\pm\sqrt{10}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{10-\sqrt{10}\le x\le 10+\sqrt{10}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で \(BC^2=100+400-400\cos60^\circ\)。

\[ \boxed{10\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{50\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{10} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　内分点・内積・三角形の面積

（1）

中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。

\[ \boxed{P=(10,0),\quad Q=(\frac{40}{3},\frac{20}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。

\[ \boxed{\frac{400}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。

\[ \boxed{\frac{100}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。