東京農工大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第024回
この回のテストポイント
- 第1問：区分求積と和の極限
- 第2問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第3問：1の累乗根と積・距離の和
- 第4問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第5問：反復試行と条件付き確率
- 第6問：部分分数分解と有限和の評価
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、
とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第2問 剰余定理と三次式の因数分解（17点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(29)=0\)、\(P(-29)=48778\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（5点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）
（3）P(x)を \(x-58\) で割った余りを求めなさい。（7点）
第3問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^29=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{28}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{28}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{28}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第4問 二次関数の頂点・解・不等式（17点）
実数全体で \(f(x)=x^2-58x+812\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）
第5問 反復試行と条件付き確率（16点）
公平な硬貨を29回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（4点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（4点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（8点）
第6問 部分分数分解と有限和の評価（16点）
\(a_n=\frac1{(n+29)(n+30)}\) とする。
（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（4点）
（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（4点）
（3）\(S_n\ge\frac1{60}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{29+x}\)、
は \(g(x)=1/(29+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(P(x)=(x-29)\(x^2+29x-841\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(29\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{28}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{28}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-29)^2-29\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\((x-29)^2=29\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(29\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 部分分数分解と有限和の評価
（1）
分子が隣接する分母の差であることを利用する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。