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筑波大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第069回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　対数の真数条件と単調性（17点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-10)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（5点）

（2）\(F(x)=\log_2 200\) を解きなさい。（5点）

（3）\(F(x)\le\log_2 200\) を解きなさい。（7点）

第2問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=10,B=10i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-10|+|x+10|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 30\) を解きなさい。（7点）

第4問　完全順列の漸化式と固定点（17点）

\(10\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。

（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（5点）

（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（5点）

（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（7点）

第5問　回転軸を変える体積計算（16点）

\(0\le x\le10\) で曲線 \(y=x(10-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（4点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）

第6問　内分点・内積・三角形の面積（16点）

A(0,0)、B(20,0)、C(0,20)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）

（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（4点）

（3）三角形APQの面積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>10} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-10)=200\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=20} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{10<x\le20} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=5(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=10\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=50\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{5}{3}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=\frac{10}{3}\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-10,10\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-10\\20&-10\le x\le10\\2x&x>10\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=20,\quad -10\le x\le10} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 30\)、\(2x\le 30\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-15\le x\le 15} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　完全順列の漸化式と固定点

（1）

1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。

\[ \boxed{D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{10}=1334961\)。全割当ては \(10!\) 通り。

\[ \boxed{\frac{16481}{44800}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/10\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。

\[ \boxed{1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{10}x(10-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{500}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切り口は半径 \(x(10-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{10}x^2(10-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{10000}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(0\le y\le100/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(10\pm\sqrt{100-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=10\pi\sqrt{100-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{5000}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　内分点・内積・三角形の面積

（1）

中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。

\[ \boxed{P=(10,0),\quad Q=(\frac{40}{3},\frac{20}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。

\[ \boxed{\frac{400}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。

\[ \boxed{\frac{100}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。