筑波大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第034回
この回のテストポイント
- 第1問：対数の真数条件と単調性
- 第2問：楕円の接線と切片・回転体
- 第3問：三次方程式の実数解の個数
- 第4問：整数を選ぶ確率と条件付き確率
- 第5問：回転軸を変える体積計算
- 第6問：円の弦と三角形の面積の最大化
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 対数の真数条件と単調性（17点）
\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-26)\) を考える。
（1）定義域を求めなさい。（5点）
（2）\(F(x)=\log_2 1352\) を解きなさい。（5点）
（3）\(F(x)\le\log_2 1352\) を解きなさい。（7点）
第2問 楕円の接線と切片・回転体（17点）
楕円
の第1象限の点 \(P(52\cos t,26\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）
第3問 三次方程式の実数解の個数（17点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-2028x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）
第4問 整数を選ぶ確率と条件付き確率（17点）
1から52までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを26より大きい数が出る事象とする。
（1）P(A),P(B)を求めなさい。（5点）
（2）P(A∩B)を求めなさい。（5点）
（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（7点）
第5問 回転軸を変える体積計算（16点）
\(0\le x\le26\) で曲線 \(y=x(26-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（4点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（4点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（8点）
第6問 円の弦と三角形の面積の最大化（16点）
円 \\(x^2+y^2=676\\) の内部の点 \(Q(13,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（4点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（4点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（8点）
解答・解説
第1問 対数の真数条件と単調性
（1）
2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
積の対数にまとめると \(x(x-26)=1352\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(52/\cos t\)、\(26/\sin t\)。面積は \(676/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(676\(1-x^2/2704\)\)。\(-52\le x\le52\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-26)(x+26)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-26\) で極大、\(x=26\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a=35152\) では \(f(x)-a=(x-52)(x+26)^2\)。\(a=-35152\) では \(f(x)-a=(x+52)(x-26)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 整数を選ぶ確率と条件付き確率
（1）
偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
共通部分の偶数の個数は \(26-\lfloor26/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{26}x(26-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
切り口は半径 \(x(26-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(0\le y\le676/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(26\pm\sqrt{676-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=13\) を円の式に代入する。\\(y^2=507\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
直線は \(mx-y-13m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{676m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{676-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le26/2\)。面積の2乗は \(d^2(676-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(676-s)\) は \(0\le s\le676/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。