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筑波大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第024回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　対数の真数条件と単調性（17点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-7)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（5点）

（2）\(F(x)=\log_2 98\) を解きなさい。（5点）

（3）\(F(x)\le\log_2 98\) を解きなさい。（7点）

第2問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）

複素数zが \(|z-7|=2|z+7|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）

第3問　三次方程式の実数解の個数（17点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-147x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）

第4問　抽出方法と条件付き確率（17点）

袋に赤玉 \(7\) 個、青玉 \(14\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）

第5問　指数関数の最大値と積分の極限（16点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-7x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（4点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（4点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（8点）

第6問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(7,1),\ \mathbf b=(1,7) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>7} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-7)=98\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=14} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{7<x\le14} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-7)^2+y^2=4((x+7)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{35}{3})^2+y^2=\frac{784}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(35/3\)、半径は \(28/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=21\ (z=-21),\quad\min|z|=\frac{7}{3}\ (z=-\frac{7}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-7w|=2|1+7w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{21})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{16}{441}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-7)(x+7)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-7\) で極大、\(x=7\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }686,\quad\text{極小値 }-686} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-686<a<686} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(a=686\) では \(f(x)-a=(x-14)(x+7)^2\)。\(a=-686\) では \(f(x)-a=(x+14)(x-7)^2\)。

\[ \boxed{a=686:x=-7,14;\quad a=-686:x=-14,7} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((7-1)/(21-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{1}{10}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{14(14-1)}{21(21-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{3}{17}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(7-1)<35-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{3}{17}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-7x}(1-7x)\)。指数因子は正なので \(x=1/7\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{7},\quad\max f=\frac1{7e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{7x+1}{49}e^{-7x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(7a+1)e^{-7a}}{49}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\(e^{-7a}\) と \(ae^{-7a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{49}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=14,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{50}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{7}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=50t^2-28t+50 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{1152}{25},\quad t=\frac{7}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。