筑波大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第016回
この回のテストポイント
- 第1問：等差数列の一般項・和・境界
- 第2問：1の累乗根と積・距離の和
- 第3問：絶対値の和と場合分け
- 第4問：完全順列の漸化式と固定点
- 第5問：対数の評価と部分積分
- 第6問：放物線の接線と囲まれた面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 等差数列の一般項・和・境界（17点）
初項12、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(a_n\ge 36\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）
第2問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^12=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{11}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{11}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{11}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第3問 絶対値の和と場合分け（17点）
\(f(x)=|x-12|+|x+12|\) とする。
（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）
（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）
（3）不等式 \(f(x)\le 36\) を解きなさい。（7点）
第4問 完全順列の漸化式と固定点（17点）
\(12\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。
（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（5点）
（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（5点）
（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（7点）
第5問 対数の評価と部分積分（16点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le12\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（4点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（4点）
（3）
を求めなさい。（8点）
第6問 放物線の接線と囲まれた面積（16点）
放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-144)\) を考える。
（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（4点）
（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（4点）
（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(12\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{11}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{11}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 絶対値の和と場合分け
（1）
符号が変わる点は \(-12,12\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
左右の外側で \(-2x\le 36\)、\(2x\le 36\)。中央の区間はすべて条件を満たす。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 完全順列の漸化式と固定点
（1）
1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{12}=176214841\)。全割当ては \(12!\) 通り。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/12\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<12\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 放物線の接線と囲まれた面積
（1）
接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=144\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
接点は \((\pm12,144)\)。底辺の長さは \(24\)、Pから底辺までの高さは \(288\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-12)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{12}(x-12)^2\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。